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Seminario sobre el desempeño del PREP
PREP: diferencias con cómputos distritales y el conteo rápido

Presentación

Lic. Gustavo Lomelín: Muchas gracias doctor. Bueno, el aspecto de la consistencia que comenta el doctor Hernández es claramente comprobable en el cuadro que nos ha presentado, donde se muestra precisamente lo alineado de los diversos sistemas de medición y cómputos distritales y finales dados a conocer, porque la diferencia entre el primer lugar.

El y el segundo lugar, según el PREP, incorporando las actas con inconsistencias, fue de 0.62 por ciento, mientras que del cómputo distrital fue de 0.58 por ciento y del cómputo final arrojado por el Tribunal fue del 0.56 por ciento. Esto muestra, como bien decía el doctor Hernández, la alineación de los diversos sistemas de medición y la consistencia que tuvieron entre el PREP y los cómputos distritales y finales.

Le voy a dar ahora la palabra al doctor Luis Horacio Gutiérrez González. Él estudió la Licenciatura en Física en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Estudió su Maestría en Química en la Universidad Autónoma Metropolitana y el Doctorado en Bioquímica, en la Universidad de Frankfurt. Ha sido ex becario del Servicio Alemán de Intercambio Académico y posdoctorado en la Universidad Técnica de Munich. Le doy la palabra al doctor Gutiérrez González.

Dr. Luis Horacio Gutiérrez González: Muchas gracias, buenos días. Ante todo quiero agradecer al IFE la invitación para participar en este seminario. Yo en esta ocasión tal vez el tema que voy a mencionar sea parte un poco de lo que se ha estado discutiendo aquí, porque los análisis que yo he hecho de los resultados electorales no se han concentrado en los resultados del PREP, sino más bien en los resultados del conteo distrital.

Sin embargo, el análisis que vamos a presentar aquí ha sido realizado por otras personas, otros colegas, para los resultados del PREP o para otro tipo de elecciones. Entonces, me parece que es un método de una generalidad bastante amplia, que puede ser fácilmente aplicado a todos estos análisis.

También quiero mencionar que este trabajo fue realizado en colaboración con Emiliano Calderón de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Aquí vamos a hablar de la Ley de Benford. La Ley de Benford probablemente ya la conozcan algunos de ustedes, fue descubierta ya desde el Siglo XIX, es una ley fenomenológica, de alta generalidad, que nos describe cuál es la frecuencia de los dígitos con que nosotros representamos cualquier cantidad.

Esta ley tiene una generalidad muy amplia. Se ha demostrado que para prácticamente cualquier conjunto de números grandes se tiene que cumplir una cierta distribución numérica, es decir, nosotros solemos pensar que los dígitos con los cuales contábamos, uno, dos, tres, cuatro, etcétera, van a aparecer siempre con la misma frecuencia. Esto, sin embargo, no es así, digamos, nosotros sabemos actualmente gracias a estos análisis de Benford que algunos dígitos son más abundantes que otros, siguen una distribución logarítmica, según la cual si estamos hablando nosotros del primer dígito, el dígito uno va a ser más abundante que el digito dos, éste más abundante que el tres y así sucesivamente, hasta el nueve.

Esta ley también se ha generalizado para dígitos distintos del primero, se ha usado para el segundo dígito, tercer dígito y se ha visto también que el dígito cero es más abundante que el uno, el uno más abundante que el dos, etcétera, de acuerdo con una ley que ha sido ya a descrita con detalle, digamos, nosotros, digamos, ¿esto por qué nos concierne aquí? Porque nosotros cuando estamos estudiando los resultados electorales, ya sea a nivel PREP o a nivel de conteo distrital vamos a estar manejando grandes cantidades de números, son grandes cantidades de números que van a resultar de operaciones aritméticas, operaciones aritméticas sencillas.

Entonces cabe plantear la pregunta de sí la Ley de Benford puede describir la distribución de dígitos para estos números. Este también, este sistema también es importante porque se ha utilizado en muchos sistemas fiscales para detectar las irregularidades en declaraciones fiscales, fraudes fiscales, etcétera. Entonces nosotros decidimos aplicar este método a los resultados presentados por el IFE cuando después de las elecciones pues hubo una duda generalizada. Entre la población hubo muchas personas que dudaban de los resultados electorales presentados con el IFE, por el IFE y entonces nosotros decidimos aplicar este criterio para ver qué tan confiables son los resultados electorales.

Aquí tienen ustedes una ley matemática de amplia generalidad, es una distribución logarítmica del primer dígito. Esta ley, digamos, bueno, se aplica únicamente para el primer dígito en esa forma, y digamos, nosotros en particular decidimos no aplicar esta ecuación para nuestro análisis electoral, si no que decidimos aplicar esta ecuación que es una distribución logarítmica para el segundo dígito. ¿Por qué no quisimos aplicar la distribución para el primer dígito? Bueno, como mencionaba yo la Ley de Benford tiene una generalidad muy amplia, sin embargo para el primer dígito se han detectado algunos conjuntos de números que, para los cuales no se cumple esta ley, digamos, hay varios casos.

Por ejemplo, si nosotros estamos describiendo una cantidad de números en los cuales la diferencia entre el número mayor y el número menor sea de un orden de magnitud, entonces no se va a poder aplicar esta ley, es un ejemplo muy claro. Si nosotros queremos medir, digamos, expresar la estatura de los seres humanos, medida en metros, pues digamos prácticamente todas esas estaturas van a comenzar con el número uno y entonces no se va a cumplir la Ley de Benford. Lo mismo va a pasar cuando tenemos nosotros algunos procesos en los cuales intervienen factores psicológicos. Por ejemplo para la determinación de precios.

La determinación de precios está el famoso fenómeno del 99.90, digamos el precio, van a estar, siempre va, el precio va a ser el resultado de una competencia entre el vendedor y el comprador, cada uno de ellos quiere optimizar sus ganancias, pagar lo menos posible y entonces se ajustan a un límite y se quedan en el 99.90. Por eso para los precios no se cumple la Ley de Benford, aunque sí se cumple para las facturas, digamos, si nosotros tenemos una serie de precios y lo multiplicamos por un número, cierto número de artículos, entonces al hacer operaciones matemáticas vamos a tener nosotros que los resultados sí se van a ajustar a esta Ley de Benford.

Y digamos, un tercer caso en el cual la Ley de Benford tampoco puede ser aplicable para el primer dígito, es cuando tenemos nosotros algún tipo de concentración de los resultados, digamos, cuando tenemos una distribución de "x" probable de resultados, por ejemplo, si tenemos nosotros, en el caso de la votación en una casilla, tenemos nosotros que el número máximo de votos es de 500 y repartido similarmente entre dos partidos, vamos a tener 250, 250 aproximadamente como número máximo y el dígito dos va a estar sobrerrepresentado.

Entonces por esta razón decidimos no aplicar el análisis de Benford al primer dígito. Sin embargo, todo lo que he mencionado anteriormente, todas las restricciones anteriores, no se cumplen cuando queremos nosotros analizar el segundo dígito, o bien, el tercero. Podemos ver la siguiente gráfica… bueno, esto es nada más una ecuación que describe cuál es la distribución generalizada para cualquier dígito, es decir, Jahill en 1995 estudió, y digamos, definió cuáles deben ser las distribuciones para dígitos que están en posiciones generales, en cualquier posición.

Entonces, digamos, aquí tenemos nosotros una tabla que nos dice qué es lo que debemos esperar en cuanto a las probabilidades de los distintos dígitos, por ejemplo, bueno, en la primera columna tenemos nosotros los dígitos del 0 al 9, en la segunda columna tenemos la probabilidad para el dígito en la primera posición. Vemos que el dígito uno va a aparecer en un 30 por ciento de los casos, el dos en un 17 por ciento y así sucesivamente hasta el dígito nueve que aparece en un 4 por ciento de los casos.

Para el segundo dígito la distribución es un poco…, la ecuación que describe esta distribución es un poco más complicada, pero las diferencias son menos marcadas, tenemos aproximadamente un 12 por ciento para el dígito cero y un 8.5 por ciento para el dígito 9, y así sucesivamente para todos los resultados. Entonces, digamos, este tipo de Análisis de Benford se ha aplicado a resultados electorales, se ha aplicado sobre todo el segundo y el tercer dígito. Nosotros lo que decidimos hacer fue ver, dados los resultados publicados por el IFE, hicimos nosotros y conteo de los dígitos, resultados a nivel sección, es decir, tenemos nosotros resultados a nivel casilla, sumábamos para obtener los resultados a nivel sección.

Esto es importante por la magnitud de los números que estamos nosotros obteniendo, si hacemos un conteo a nivel casillas puede haber problemas en la distribución de los votantes, porque ustedes saben, bueno, en las casillas vamos a tener nosotros los votantes distribuidos según el apellido, que es el principio rector, en la casilla básica tenemos hasta la mitad del alfabeto más o menos, la que sigue contigua tenemos la otra mitad, y entonces esto puede introducir algunos efectos indeseables en la distribución de dígitos.

Para evitar estos efectos decidimos hacer los cálculos a nivel sección, bueno, hicimos ambos cálculos y podemos hacer un análisis comparativo, digamos, nosotros también construimos histogramas que nos van a permitir comparar cuáles son los resultados efectivos para el conteo de resultados distritales a nivel sección y podemos compararlo con aquello que ha sido predicho por la Ley de Benford. Esto es lo que esperaríamos nosotros para el primer dígito. Sería para el segundo dígito, tenemos una distribución mucho más uniforme, y digamos, nosotros no esperamos graves desviaciones de una distribución.

Si construimos un histograma vamos a esperar que la distribución de números se parezca a la que está indicada por la Ley de Benford, que aparece aquí con color azul del lado derecho, el color azul violeta, esa es la distribución de Benford, y la distribución roja, la barra roja que ustedes están viendo del lado izquierdo, son datos experimentales que se han colectado de varias revistas científicas, se colectaron tablas, se colectaron números y se hizo un estudio para ver si se podían encontrar datos falsificados por este método, digamos, se demostró que los datos publicados en esta revista eran confiables porque se ajustan a la Ley de Benford.

Entonces aquí están, digamos, el resumen de lo que decidimos nosotros aplicar. Digamos, nosotros decidimos aplicar esa ley, esta prueba de Benford para el segundo dígito. También, bueno, debo mencionar en este caso, que este método ya ha sido aplicado anteriormente a otros resultados electorales, digamos, después de las elecciones, cuando nosotros ya habíamos elaborado nuestros programas, estábamos trabajando, nos pusimos en contacto con Mebane, Walter Mebane, de la Universidad de Cornel, el cual ya ha desarrollado muchos programas para cuantificar la frecuencia de dígitos y ha aplicado este tipo de análisis a los resultados en muchas elecciones, a la elección de Florida, en Estados Unidos, en el estado de Ohio, etcétera.

Él aplicando estos criterios logró, digamos, en fin, demostró, por ejemplo, que la elección de Ohio en el año 2004, fue confiable, pese a que hubo muchas indicaciones o muchas personas afirmaban que había habido alguna manipulación de los resultados electorales en el estado de Ohio, el análisis de Benford hace suponer que no hubo una manipulación generalizada. No pasa lo mismo en el estado de Florida, en el año 2000, donde sí se encontraron algunas irregularidades muy importantes.

Este método, también ha sido aplicado ya en otros países, para las elecciones de otros países; se tienen muchos controles, por ejemplo en el estado de Pennsylvania, donde las elecciones pasan sistemáticamente la prueba de Benford, sin ningún problema; también se tienen resultados electorales para Canadá.

En Venezuela hay una disputa, digamos, porque algunos estudiosos, por ejemplo el Centro Carter, afirma que las elecciones en Venezuela fueron legítimas, pese a que no cumplen con el criterio de Benford; entonces el Centro Carter ha puesto en cuestión la validez de este método para verificar elecciones, pero digamos, este es un tema aún abierto a la investigación.

Bueno, como es relativamente complicado estar visualizando histogramas constantemente, para cada uno de los resultados, decidimos nosotros aplicar una prueba estadística a algún criterio, y el criterio normalmente aplicado para ver qué tanto se alejan nuestros resultados experimentales de aquellos que han sido predichos teóricamente, pues es la "ji2" que muchos de ustedes conocerán, y tomamos nosotros, como criterio de confiabilidad, un valor de "ji2", de 16.91.

Este valor se deriva de una ecuación; cuando tenemos nosotros 10 dígitos con 9 grados de libertad y estamos asignando una prueba de validez del .05, entonces, ese fue nuestro criterio; es un criterio generalmente aceptado, para saber si los resultados experimentales se alejan de los resultados teóricos. Bueno, aquí tengo una tabla, digamos, que fue elaborada por Walter Mebane; él publicó estos resultados poco después de las elecciones, y digamos, él tiene aquí resultados, son a nivel casilla.

Estos son los resultados a nivel casilla, digamos, estamos calculando para cada uno de los estados los valores de la "ji2", para cada uno de los estados y para cada uno de los partidos, y entonces el B, digamos, esto es un conteo a nivel sección; perdón, me corrijo, este es un conteo a nivel sección, para un nivel de acumulación estatal. Entonces, ahí se puede ver que hay ciertos lugares en donde los valores de "ji2" adquieren unos valores realmente muy elevados, por ejemplo, en el estado de Puebla, para el Partido de Nueva Alianza se tiene un valor de "ji2" extremadamente elevado; tal vez ustedes no alcancen a verlo por aquí, pero digamos, son valores que superan por mucho a este valor de 16.91.

Si hacemos una comparación con la siguiente gráfica, por favor; esto es a nivel casilla. Vemos que los valores de "ji2" reportados son, en general, bastante mayores que los reportados a nivel sección. Entonces, digamos que este es el criterio que nos induce a preferir hacer cálculos a nivel sección. Entonces, por lo que sigue a continuación, lo podemos mencionar, todos los cálculos se hicieron a nivel sección. Estos resultados son los que nos indujeron a no utilizar el valor de "ji2", calculado para frecuencias de dígitos a nivel casilla.

Entonces, nosotros ¿qué hicimos? Decidimos aplicar este método de análisis para cada uno de los distritos electorales del país; para cada uno de los 300 resultados, el conteo distrital y decidimos ver dónde teníamos nosotros valores superiores a 16.91. Bueno, no vamos a ver con detalle todas estas gráficas; podemos ver la siguiente. Aquí tienen ustedes todos; con rojo están marcados aquellos distritos que tienen valores superiores a 16.91.

Bueno, aquí lo importante, en este caso, no es tanto que aparezca un valor con letras rojas, porque puede aparecer en un distrito específico algún número de 16.91 superior, que podría indicar que hubo alguna anomalía, pero también puede ser que se trate simplemente de un falso positivo. Entonces, nuestro criterio para señalar si había o no anomalías graves a nivel distrital, fue ver si existía una acumulación de anomalías. Si tenemos nosotros una anomalía, un valor mayor a 16.91, no nos preocupa tanto; pero si existen cuatro, cinco, seis valores, entonces sí queremos nosotros preguntarnos qué es lo que está pasando a nivel distrital.

Podemos seguir con la siguiente, la siguiente. Tenemos aquí todos estos datos que han sido publicados en Internet, y nos quedamos en esta tabla que sería un resumen, digamos, serían aquellos distritos en los cuales hemos detectado nosotros muchas anomalías. Puedo mencionar por ejemplo, puedo señalarles ahí el distrito 02 de Chihuahua. En ese lugar, prácticamente los valores para todos los partidos son anómalos, son mayores a 16.91. Lo mismo pasa en el distrito 08 de Jalisco, o los distritos 19 y 20 del Estado de México. Son lugares donde tenemos valores demasiado altos para las "ji2" para muchos partidos.

Es decir, tenemos nosotros ahí lo que llamamos una acumulación de anomalías que nos hace suponer que hubo algún, es posible que haya habido alguna manipulación sistemática en esas secciones. Entonces digamos, qué es lo que sugerimos en diversos foros, cuando presentábamos estos resultados. Este método, esta prueba de Benford fue esencialmente desarrollada para detectar manipulaciones en los datos, y ¿qué es lo que se hace cuando se descubre que un grupo de datos no pasa la ley de Benford? Bueno, lo que se hace normalmente es proceder a una auditoría.

En este caso concreto, si nosotros queremos proponer una auditoría, se referiría a hacer un conteo, un recuento total de los votos en un distrito específico, digamos una forma práctica de hacer esto hubiera consistido, bueno, tal vez se pueda hacer todavía, aunque ahora ya sólo tiene un valor puramente académico, sería el de escoger aquellos distritos en los que hay muchas anomalías, por ejemplo el 02 de Chihuahua, el 19 de México, etcétera; y ahí hacer un recuento total, y entonces recalcular los valores de "ji2" para esos distritos.

Si se encuentran anomalías importantes en esos distritos, entonces se puede ir pasando a un segundo nivel. Escoger distritos que tienen un menor número de anomalías y se puede ir extendiendo esto. Si desde un principio resulta que aquellos estados que tienen muchas anomalías, de acuerdo con nuestro método, no presentan, en realidad no hay diferencias, una vez que hubo un recuento, entonces quiere decir que tenemos que reanalizar nuestro método de análisis, tenemos que replantear nuestro método de análisis. Sin embargo, esto no se ha podido hacer. Lo que estábamos nosotros proponiendo aquí es un procedimiento experimental.

Tenemos aquí nosotros una propuesta, una hipótesis científica, es falseable, en el sentido de Popper, es decir, se puede demostrar que nuestro método está equivocado, y existe una forma experimental de demostrar que estamos equivocados. Este experimento es conceptualmente muy sencillo. Es un recuento total a nivel distrital. Pero desde luego, aunque es sencillo conceptualmente, hay muchas dificultades a nivel logístico, legal e incluso político digamos, que no permiten hacer un recuento, pero si, digamos, y en esto concordamos también con los análisis presentados por Mebane, él también ha sugerido, los distritos anómalos, según Mebane, son ligeramente distritos a los nuestros.

Tenemos dos listas, comparamos nuestras listas y son muy parecidas, aunque no idénticas. Pues bien, Mebane hace una propuesta similar, tomar aquellos distritos más sospechosos, hacer un recuento total en esos lugares, y luego ir extendiendo, ir ampliando paulatinamente el círculo de distritos sometidos a un recuento. Bueno aquí tengo yo un histograma hecho para el distrito 02 de Chihuahua, que de acuerdo con nuestros resultados es el estado más grave, el distrito más grave. De acuerdo con Mebane, éste es el segundo más grave. Entonces, quiere decir que hay algo que es necesario revisar en este distrito 02 de Chihuahua, con cabecera en Ciudad Juárez.

Podemos ver los resultados globales. Vemos que para el dígito cero hay una abundancia anómala. La barra de color verde oscuro que aparece del lado izquierdo, en el extremo izquierdo de la gráfica, es bastante mayor de lo que se hubiera esperado, según la Ley de Benford. También el dígito tres es un poco raro, en cambio los otros dígitos se alejan. Si lo vemos a nivel partido, por ejemplo con la siguiente lámina, entonces vemos también cosas curiosas, vemos qué es lo que está pasando con el PAN.

El PAN tiene también sobreabundancia de dígitos ceros y de dígitos tres. La Alianza por México, también hay algo raro ahí con el cero y el tres. Aquí tenemos que en la Coalición Por el Bien de Todos se ve más o menos normal para el cero, uno, el dos es un poco escaso, el cuatro normal, pero digamos que la "ji2" en este caso, está en cada un a de las tablas aparece la "ji2", entonces no es tan grave.

Yo no diría que hubo alguna manipulación para este partido en este distrito, porque el valor de la "ji2", que es de 4.94, es bajo simplemente, entonces no vale la pena, no hay motivos para suponer que esto haya sido alterado. Para Nueva Alianza, en cambio, para este mismo distrito, sí se ve una alteración muy extraña. El valor de "ji2" es muy alto, 26.11 y el dígito cero es extremadamente abundante con respecto a lo que se hubiera esperado de acuerdo con la ley de Benford.

El número N-40, representa el número de recepciones para los cuales fue posible hacer este conteo de dígitos, entonces aquí tenemos nosotros resultados, tenemos un número suficiente grande para indicar que esta sobreabundancia de ceros no es consecuencia dada más del azar, digamos, sino que hubo algún efecto de manipulación.

Lo mismo podemos ver para la Alianza Socialdemócrata y Campesina, para el dígito tres también se ve algo extraño. Aquí tengo yo una tabla-resumen. Si se pregunta si hubo anomalías masivas en estas elecciones, nuestros resultados indican que no se puede hablar de manifestaciones, de alteraciones masivas. Hubo 90 distritos, por ejemplo, para los cuales nosotros no detectamos ninguna anomalía.

Hubo otros 111 distritos donde detectamos sólo una anomalía. Como ya mencioné, aquí pueden estar escondidos algunos falsos positivos. Entonces, esto no es muy grave. Sin embargo, hubo un distrito en el cual se detectan seis anomalías, hay cuatro distritos donde se detectan 5. Entonces, digamos, aquí tenemos al menos cinco distritos en los cuales sí se puede decir que definitivamente no pasan la Ley de Benford.

Entonces, si pudiéramos hacer el experimento, si los científicos pudiésemos aplicar nuestros métodos para verificar estas leyes, si pudiéramos hacer el experimento que deseamos, haríamos un recuento total para estos cinco distritos y veríamos qué es lo que pasa con las "ji2".

Sí se detectan anomalías, iríamos paulatinamente incrementando el círculo de aquellos distritos que deben ser o no revisados totalmente. En ese sentido quiero hacer una comparación. Este tipo de análisis ya se hizo hace 18 años en 1988, Jorge Zavala y sus colegas aplicaron un análisis de Benford para el tercer dígito a los resultados electorales del aquel año de triste memoria.

La Ley de Benford indica que hubo una manipulación masiva en ese año de 1988, para el tercer dígito. Se puede ver muy claramente en las gráficas, más claro estoy hablando de la prehistoria, en esa época ni siquiera existía el IFE, pero eso quiere decir, es una muestra adicional, hay un consenso en la sociedad mexicana de que las elecciones del 88 fueron fraudulentas y ese consenso sólo se ve confirmado cuando aplicamos nosotros un análisis de Benford de esta naturaleza.

Entonces, no se puede hablar en esta elección la más reciente, no se puede hablar de una catástrofe como paso en el 88, definitivamente, pero sí se puede hablar de algunos lugares en los que hay aspectos preocupantes a nivel distrital, en algunos distritos en los que sería conveniente hacer una revisión. Aquí quisiera hacer una propuesta al IFE en sí. Este es un método de auditoria generalmente aceptado, aplicado rutinariamente por los sistemas hacendarios de otros países, etcétera, entonces creo yo que sería muy útil para futuras elecciones tener un sistema de auditoría de este tipo aplicado automáticamente a los resultados electorales.

Es decir, tenemos nosotros ya programas desarrollados. Está el programa R, por ejemplo, desarrollado por Mebane o programas que hemos hecho nosotros mismos en los que se pueden analizar de inmediato estos datos y entonces se puede determinar cuál es la frecuencia de dígitos y entonces se podría aplicar automáticamente después de una elección. Se tienen los primeros resultados, se tiene el PREP, se puede aplicar la prueba de Benford, y en caso de que haya aluna anomalía entonces se puede proceder ya a nivel de conteo distrital, se puede proceder con sumo cuidado para ver qué es lo que está pasando en aquellos distritos donde las "ji2" tengan estos valores anómalos.

Esa sería una propuesta un concreta de, digamos, para, creo yo que podría implementarse o debería implantarse como un mecanismo de control interno para, digamos, por parte del IFE. Pues, bueno, el tiempo se ha acabado. Tenemos, hay algunas gráficas, eso no lo voy a discutir, esto son los análisis que ha hecho Takahashi también de la Universidad de Cornel, ahora está en la Universidad de Kyoto en el que habla sobre la distribución de votos nulos y detecta algunas anomalías en la abundancia de votos nulos, digamos, con respecto, digamos.

Por ejemplo aquí pueden ustedes ver el estado de Aguascalientes donde no hubo ninguna anomalía y la pueden comparar con el estado de Chihuahua donde tenemos nosotros una concentración de votos nulos en aquellos lugares donde la votación entre, la diferencia de votación entre López Obrador y Calderón o entre PVT y el PAN fue muy pequeña; donde fue muy reñida la votación hubo muchos votos nulos, eso para algunos estados, digamos, para Aguascalientes la distribución es completamente normal, Chihuahua también.

El hecho, tienen ustedes una línea punteada por ahí que eso nos indica simplemente dónde está el cero, digamos, el centro de gravedad de estas distribuciones está por arriba de la línea horizontal, quiere decir que ahí ganó el PAN; si está por debajo de la línea horizontal quiere decir que ahí ganó PVT. Esto esa independiente en cada uno de los estados. Lo curioso aquí es que estos ceros se distribuyen, los votos nulos se están distribuyendo en torno a esta línea. Entonces esto señala en el estado de Chihuahua de que hubo una tendencia a anular muchos votos en aquellos lugares donde la votación era muy disputada.

Vemos también aquí Distrito Federal, es una votación completamente normal, el centro de gravedad está por debajo de la línea punteada, quiere decir que ahí ganó el PVT simplemente, hay algunas anomalías en dos casillas que se disparan por ahí, pero no hay una anomalía, no es preocupante, digamos. Podemos ver, hay estados donde no hubo ninguna anomalía, como mencionó, Aguascalientes, Morelos, Distrito Federal, y hay otras donde sí hubo alguna concentración curiosa, digámoslo de esa manera, de votos nulos, como Nuevo León, Guanajuato o Chihuahua.

Tenemos, aquí nada más tengo unas referencias que, digamos, sería para aquellos que estén interesados pueden ver estos estudios con más detalle, en particular recomiendo el artículo de Mebane, que es el tercer punto de esta lista de referencias. Muchas gracias por su atención.